miércoles, 15 de febrero de 2012

PRIMER AÑO:CLASE 11


LICEO CRISTIANO “REVERENDO JUAN BUENO”
ESTRATEGIA DE CLASES
Porque, quién de vosotros, queriendo edificar una torre,
 no se sienta primero y calcula los gastos, a ver si tiene lo que necesita para acabarla.
Lucas 14:28
GENERALIDADES
Docente
Alexander Rodríguez
Documento Nº
11
Asignatura
Ciencias Naturales
Grado
Nº Unidad
1
Nº Contenido
1.11
Fecha de inicio
3 de febrero
Fecha de finalización
7 de febrero
PROCESO DIDÁCTICO
Cita y texto bíblico
Proverbios 2:6
Introducción y motivación 5 min.





Analiza la gráfica y responde
v  



                                       
                                         t

Qué magnitudes están involucradas
Escribe dos oraciones a partir de la gráfica
Trabajo docente contextualizado 15 min.
RAZÓN Y PROPORCIÓN NUMÉRICA
Razón entre dos números
Siempre que hablemos de Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente (el resultado de dividirlos) entre ellos.
Entonces:
Razón entre dos números a y b es el cociente entre    

Por ejemplo, la razón entre 10 y 2 es 5, ya que    

Y la razón entre los números 0,15  y  0,3  es      
 Proporción numérica
Ahora, cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre sí, para ver cómo se comportan entre ellas, estaremos hablando de una proporción numérica
Entonces:
Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.
Es decir    
Se lee “a es a b como c es a d”
 Los números 2,  5  y  8,  20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20.

Es decir    

En la proporción
hay cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b se llaman medios.

La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios.

Así, en la proporción anterior    
 se cumple que el producto de los extremos nos da 2 x 20 = 40 y el producto de los medios nos da 5 x 8 = 40

En general
a
=
c
==»
a . d = b . c
b
d
Comprendido el concepto de proporción como una relación entre números o magnitudes, ahora veremos que esa relación puede darse en dos sentidos:
Las dos magnitudes pueden subir o bajar (aumentar o disminuir) o bien si una de las magnitudes sube la otra bajo y viceversa.
Si ocurre, como en el primer caso, que las dos magnitudes que se comparan o relacionan pueden subir o bajar en igual cantidad, hablaremos de Magnitudes directamente proporcionales.
Si ocurre como en el segundo caso, en que si una magnitud sube la otra baja en la misma cantidad, hablaremos de Magnitudes inversamente proporcionales.
MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales.

Ejemplo
Un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?
Un cargamento de papas  pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán hacer?
Número de sacos
1
2
3
...
26
...
Peso en kg
20
40
60
...
520
...

Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20
Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20

Observa que    

Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente proporcionales.
La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20.
 Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo que llamaremos Regla de tres y que nos servirá para resolver un gran cantidad de problemas matemáticos.
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Ejemplo 1
En 50 litros de agua de mar hay 1.300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5.200 gramos de sal?
Como en doble cantidad de agua de mar habrá doble cantidad de sal; en triple, triple, etc. Las magnitudes cantidad de agua y cantidad de sal son directamente proporcionales.
Si representamos por x el número de litros que contendrá 5200 gramos de sal, y formamos la siguiente tabla:
Litros de agua
50
x
Gramos de sal
1.300
5.200

Se verifica la proporción:    

Y como en toda proporción el producto de medios es igual al producto de extremos (en palabras simples, se multiplican los números en forma cruzada) resulta:
50 por 5.200 = 1.300 por x

Es decir        

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simple directa.

Ejemplo 2
Un automóvil  gasta 5 litros de bencina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el automóvil?
Luego, con 6 litros el automóvil recorrerá 120 km

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES
Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales.


Ejemplo
Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?
En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto,  las magnitudes son
inversamente proporcionales (también se dice que son indirectamente proporcionales).
Formamos la tabla:
Hombres
3
6
9
...
18
Días
24
12
8
...
?

Vemos que los productos 3 por 24 = 6 por 12 = 9 por 8 = 72
Por tanto 18 por x = 72
O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo
Nótese que aquí la constante de proporcionalidad, que es 72, se obtiene multiplicando las magnitudes y que su producto será siempre igual.
Importante:
Como regla general, la constante de proporcionalidad entre dos magnitudes inversamente proporcionales se obtiene multiplicando las magnitudes entre sí, y el resultado se mantendrá constante.

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA (O INDIRECTA)
Ejemplo 1
Un ganadero tiene forraje suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de forraje a 450 vacas?
Vemos que con el mismo forraje, si el número de vacas se duplica, tendrá para la mitad de días; a triple número de vacas, tercera parte de días, etc. Por tanto, son magnitudes inversamente proporcionales.
X = número de días para el que tendrán comida las 450 vacas
Nº de vacas
220
450
Nº de días
45
x

Se cumple que: 220 por 45 = 450 por x, de donde    

En la práctica esto se suele disponer del siguiente modo:
Luego 450 vacas podrán comer 22 días

Esta forma de plantear y resolver problemas sobre proporciones se conoce con el nombre de regla de tres simples inversas.

Ejemplo 2
Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles?
 
Pues la cantidad de vino = 8 por 200 = 32 por x
Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma cantidad de vino.
Nota: explicar cómo se grafica las proporcionalidades.
Trabajo grupal o individual contextualizado 15 min.
Para elaborar una artesanía de mosaicos se cortan piezas de tela rectangulares de 36 cm2 de área. Los valores del ancho y largo de las magnitudes de los rectángulos se ordenan en una tabla
Largo(cm)
2.0
4.0
5.0
6.0
7.2
9.0
18.0
Ancho(cm)
18.0






LxA (cm2)
36.0







Completa la tabla y gráfica los resultados
Evaluación contextualizada 10 min.
Construya las gráficas de cada tabla. Indica, en cada caso, el tipo de proporcionalidad

Resultados de la medición de temperatura en el tiempo

Temperatura(ºC)
15
18
21
24
27
30
Tiempo(min)
0
1
2
3
4
5

Se distribuyen 360 paquetes en cierto número de tiendas

Bultos
360
180
90
60
40
20
10
tiendas
1
2
4
6
9
18
36


Vocabulario clave
Grafico
Proporción
Plano cartesiano


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